Мы привыкли, что математика – это какие-либо вычисления, обычная арифметика, изучение чисел и действий с ними. В какой-то степени это действительно так, но на этом влияние математики на наш мир не заканчивается. Ведь помимо этого, математика это способ описать наш мир, а так же то, как его части взаимодействуют и сочетаются друг с другом. Математика – она вокруг нас. Её применение безгранично, но не многие признают это. Математику мы осваиваем на протяжении всей жизни, но основные знания  получаем именно в школе. До 10 класса мы изучаем исключительно алгебраические функции и их использование, но не все жизненные ситуации связаны с ними. По большей мере, в познании реального мира играют роль тригонометрические функции. Тригонометрия в отличие от большей части разделов математики  немного выходит за рамки того с чем мы уже сталкивались, изучая этот предмет. Для ее понимания требуется совершенно другой образ мышления. Возможно, именно по этой причине, многие не желают разбираться с этим разделом, при ознакомлении в школе, поэтому именно эту тему я считаю актуальной, как для себя, так и для моих сверстников. Почему так происходит? Так ли необходимы знания по этому разделу для нашей жизни? Как мы используем тригонометрию в нашем мире? Можно ли использовать тригонометрию в повседневной жизни? Именно на эти вопросы, я хочу найти ответ в своей работе. Я считаю необходимым понять это и донести до своих сверстников.
Главной целью своего исследования я ставлю ответ на вопрос: как знание тригонометрии помогают нам в нашей жизни?
Для проведения исследования, перед собой я поставила следующие задачи:
·        Изучить историю возникновения тригонометрии
·        Узнать, как тригонометрия связана с окружающим миром
·        Определить область применения тригонометрии в различных сферах человеческой деятельности
                                                                                                                                           I.                        Основная часть 1.     Понятие «Тригонометрия» Тригонометрия – само слово возникло в Греции, и в переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю). Под термином «тригонометрия» чаще всего понимают математическую  дисциплину, изучающую зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.
2.     История возникновения В 1595 году был впервые введён такой термин, как «тригонометрия». Именно немецкий математик Б. Питискус  в своей работе использовал этот термин, а в дальнейшем написал учебник по тригонометрии. Несмотря на то, что название возникло в относительно недавнем прошлом, многие из используемых нами фактов и понятий в тригонометрии были известны ещё  2 тысячи лет назад.  Истоки тригонометрии относят к Древнему Вавилону, ведь именно там были найдены клинописные таблички, связанные с тригонометрией. Тригонометрия находит применение в различных областях, таких как архитектура, геодезия, физика, инженерное дело, космонавтика и даже криминалистика. Теперь, прежде чем перейти к деталям применения тригонометрии. Я провела опрос среди учеников нашей школы, участвовали 9,  10 и 11- классники. Отвечали на два вопроса: 1.Какая самая сложная тема для вас в алгебре (среди ответов: уравнения, текстовые задачи, тригонометрия почти 80% опрошенных выбрали 3 пункт) 2.Где в дальнейшей жизни можно встретиться с элементами тригонометрии (ответы в основном на экзамене, на уроках математики и при снятии кардиограммы) (Задавались ли вы когда-нибудь вопросом, в какой науке впервые использовалась тригонометрия? Ожидаемым ответом была бы математика, но на самом деле это не так, даже физика, несмотря на то, что в ней используется множество понятий из тригонометрии, не была первой. Согласно работам Морриса Клайна, в частности его книге "Математическая мысль с древних времен до наших дней", "тригонометрия была впервые разработана в связи с астрономией, а точнее для поиска способов навигации и построении календарей»
3.     Тригонометрия в астрономии Людей в любые времена привлекал космос. Астрономия была движущей силой достижений в области тригонометрии. Большинство ранних открытий в тригонометрии были связаны со сферической тригонометрией, главным образом из-за ее применения в астрономии. Три главные фигуры, о которых мы знаем в развитии греческой тригонометрии, - это Гиппарх, Менелай и Птолемей. Вероятно, были и другие авторы, но со временем их работы были утрачены, а их имена забыты. Как далеко до звезд? В течение всего года Земля вращается вокруг Солнца, кажущееся положение звезды, по-видимому, немного смещается относительно звезд, находящихся гораздо дальше. Вы сами можете довольно легко наблюдать это явление. Вытяните руку перед собой, подняв большой палец вверх. Затем, посмотрите на него сначала левым, а затем правым глазом. Вы можете заметить, что палец меняет расположение. Если вы поднесёте палец ближе к глазам, то смещение по отношению к фону будет больше. Наши глаза расположены на определённом расстоянии, именно поэтому прямые линии, которые мы мысленно проводим от пальца к глазам, создают угол. При продолжении этих прямых, мы обнаружим две разные позиции пальца. А угол между ними будет зависеть от того, чем ближе к глазам расположен палец. Это явление известно как параллакс.  Астрономы оценивают расстояние до близлежащих объектов в космосе с помощью этого метода, называемого звездным параллаксом, или тригонометрическим параллаксом.  Проще говоря, они измеряют видимое движение звезды на фоне более отдаленных звезд, когда Земля вращается вокруг Солнца.  Параллакс - это "лучший способ определить расстояние в астрономии", - сказал Марк Рид, астроном из Гарвардско-Смитсоновского центра астрофизики. Он описал параллакс как "золотой стандарт" для измерения звездных расстояний, потому что он не связан с физикой; скорее, он опирается исключительно на тригонометрию. Следуя из формулы, расстояние до определённого космического объекта равно отношению радиуса Земли к синусу параллактического угла. В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для: ·        точного определения времени суток; ·        определения времени затмений Солнца и Луны, вычисления изменения расположения космических тел, моментов восходов и закатов. ·        нахождения географических координат текущего места; ·        вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.
4.     Тригонометрия в медицине и биологии Второе направление, на которое тригонометрия оказывает серьезное влияние и помогает в решении некоторых проблем, - это сразу две области: медицина и биология. Одну из характерных черт живой природы представляет цикличность большей части происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами существует связь. Биоритмы (биологические ритмы), представляют собой относительно регулярные изменения в характере живого организма и интенсивности его биологических процессов.  Это распространено у всех живых организмов, а сама способность к таким изменениям передается по наследству. Это явление можно наблюдать как в отдельных клетках, так и в целых популяциях живых организмов. Биологические ритмы подразделяют на экологические (совпадающие с ритмом окружающей среды) и физиологические (периоды от долей секунды до нескольких минут). По времени биоритмы могут быть сезонными, годовыми, суточными и так далее. С помощью тригонометрических функций  также можно построить модель биоритмов. Для этого построения необходимо ввести, дату отсчета (год, месяц, день), длительность прогноза (кол-во дней) и дату рождения человека. При посещении с классом Московского океанариума, я заметила одну закономерность в движении рыб. После экскурсии, я спросила нескольких своих одноклассников насчёт этого, они начали изображать руками движение рыб, но не один из них не смог связать это воедино и понять в чём дело. Чтобы заметить это, необходимо зафиксировать своё внимание на хвосте, а далее рассмотреть траекторию движения рыбы. Такое положение тела при плавании принимает форму графика функции y=tg(x)
 Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии. Чтобы сделать это, медиками используется формула, а точнее алгебраически-тригонометрическое равенство, которое состоит из 33 основных параметров, 32 коэффициентов и 8 выражений.  В случаях аритмии включают ещё несколько дополнительных расчётов. По утверждениям медиков, эта формула в большой степени не только облегчает процесс описания главных показателей деятельности сердца, но и даже ускоряет постановку диагноза и начало дальнейшего лечения. Тригонометрия может быть использована для измерения высоты, например  гор: если вы знаете расстояние, с которого вы наблюдаете, и угол возвышения, вы можете легко определить высоту горы. Аналогично, если у вас есть значение одной стороны и угол наклона от вершины возвышенности, вы можете найти и другую сторону в треугольнике, все, что вам нужно знать, - это одна сторона и угол треугольника. Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.По доказанным фактам, американские учёные заявляют, что, чтобы определить расстояние до какого-либо объекта наш мозг, первоначально оценивает угол между плоскостью зрения и плоскостью земли. В общем и целом, идея "измерения углов" не является новой. Удаленные объекты выше в поле зрения рисовали ещё живописцы Древнего Китая, несколько пренебрегая законами перспективы. Арабский ученый XI века Альхазен сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов. В середине прошлого столетия, после долгого забвения эту идею возобновил психолог Джеймс.
  5.     Тригонометрия в архитектуре и искусстве Если вы взглянете на линию горизонта современного города, вы точно увидите множество эстетически привлекательных, а иногда и просто немыслимых сооружений. И, казалось бы, как с этим связана тригонометрия? Но уже с давних времён одним из наиболее распространенных архитектурных применений тригонометрии является определение высоты сооружения. Например, для определения высоты построек архитекторы могут использовать функцию касательной. Для этого необходимо всего лишь знать угол между их глазами и вершиной здания, а так же расстояние от конструкции. Конечно, сейчас нет необходимости самостоятельно измерять углы, для этого придуман такой инструмент, как клинометр. Это старые устройства, но более новые используют цифровые технологии для обеспечения наиболее точных показаний. Мы также можем вычислить расстояние до конструкции, если знаем угол наклона клинометра и высоту конструкции. Тригонометрию, действительно можно назвать гением архитектуры, большинство известных нам зданий были спроектированы именно благодаря ей. Некоторыми известными примерами таких зданий являются: Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Сиднейский оперный театр, Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине, Детская школа Гауди в Барселоне ,  Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании . При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии. Во время поиска информации о тригонометрическом методе в архитектуре, я нашла информацию о том, что Мартин Кемп, писал о Филлипо Брунеллески, архитекторе купола собора во Флоренции . "Во время своего первого визита во Флоренцию, как описано в его биографии, он сделал измеренные чертежи зданий, используя свое понимание стандартных методов геодезии "для построения высот", а также измерения "от основания до основания" и простые вычисления из области тригонометрии. Основой для таких процедур была "математика на счетах", которую он выучил в детстве". Источником этой информации является книга "Жизнь Брунеллески" Антонио Манетти. Поиск в биографии позволил найти упоминание о визите во Флоренцию, а также об использовании им тригонометрии для измерения фасадов. А, по словам Кемпа, уже другой, но не менее известный учёный-изобретатель Леонардо да Винчи записал в Кодексе Атлантико измерительный посох крестообразной формы, который он назвал баколо Евклида. Он использовался для создания подобных треугольников. Этот прибор был усовершенствован в шестнадцатом веке географом и астрономом Джеммой Фризиус. Инструмент высоко ценился как для наземных, так и для астрономических измерений. Искусство также не обошло стороной тригонометрию. Именно с помощью тригонометрии проходило большинство композиционных решений и построений. Существует несколько направлений, в которых художники, обращаясь к тригонометрии, создают настоящие шедевры. 6.     Тригонометрия в физике К физике тригонометрия имеет, самое что ни на есть, прямое отношение. Например, зная, как применяется диаграмма свободного тела функции тригонометрии, вы можете упростить многие задачи в физике. Для отображения ситуации в визуальном плане используют геометрию и векторы. Вертикальные и горизонтальные составляющие объектов и сил также изображают с помощью тригонометрии. Если в расчётах появляются неизвестные, то диаграммы во многом приносят пользу при решении. В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Именно такие процессы, непосредственно, называют колебательными.  Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Баллистическое движение Движение снаряда - это движение объекта, брошенного в воздух, на который воздействует только ускорение силы тяжести. Объект называется снарядом, а его траектория называется баллистическое движение. Движение падающих объектов, описанное в "Основах решения задач для одномерной кинематики", представляет собой простой одномерный тип движения снаряда, в котором отсутствует горизонтальное движение. Уравнение траектории снаряда, или зависимость y(x), можно получить, исключая из уравнений системы время.
Как соединить две трубы? Приведя эти примеры, кажется, что в физике тригонометрия связана лишь с определёнными колебаниями, но это не так. При соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу, также используется эта дисциплина. Если вам необходимо соединить две трубы, таким образом, тогда нужно срезать их наискосок. Труба окажется ограниченной сверху синусоидой, если развернуть срезанную наискосок трубу. Обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу, вы сможете убедиться в этом. При необходимости получения ровного среза трубы, нужно обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу. 7.     Тригонометрия в музыке Что такое музыка? Мы слушаем музыку, создаём её. Она вызывает у нас ассоциации с определёнными моментами нашей жизни... Это действительно прекрасное творение, созданное человеком. И в музыке нашлось место для тригонометрии. Известно даже, что первым математиком нашедшим связь между музыкой и тригонометрией был Пифагор Самосский и его ученики. В дальнейшем с помощью тригонометрии вычисляли, к примеру, расстояния между ладами на гитаре. Шумы и музыкальные аккорды можно отнести к колебаниям. Эта кривая мало похожа на синусоиду. Сложное колебание может быть представлено как результат наложения одной на другую большого числа синусоид с разными амплитудами и частотами. Спектр сложного колебания составляют простые. Человеческий голос, как и музыкальные инструменты, создают колебание не одной частоты, а целую полосу частот. Причем, эта полоса зависит от взятой ноты. Гармоники Каждая нота (высота тона) в музыке определяется размером ее синусоидальной волны, то есть определяется ее частотой. Ноты с широкими синусоидальными волнами ниже по высоте и имеют меньше циклов в секунду, в то время как ноты с узкими синусоидальными волнами выше и имеют больше циклов в секунду. Профессиональные музыканты могут поразительно владеть своим тембром и изменять создаваемые им синусоидальные волны. Например, если проигрыватель воспроизводит ноту с частотой 512 Герц, то над ней создается гармоника с частотой 1024 Герц, и вы можете услышать базовую ноту с той же нотой, но на октаву выше. Скрипачи часто используют знания о гармониках и настраивают инструмент так, как взаимодействуют базовые частоты и гармоники.
Создание музыки У студийных продюсеров есть задача сделать музыкальную запись сбалансированной. Для этого они используют множество различных компьютерных программ. Компьютерные программы, в свою очередь,  могут позволить продюсеру увидеть звуковые волны, которые были записаны в виде различных типов графиков. Эти графики создаются, поскольку программа использует тригонометрические уравнения для быстрого расчета того, как должен выглядеть график на основе отдельных точек — например, синусоида голоса певца может быть просмотрена визуально с помощью этого процесса. Затем продюсер может настроить такие параметры, как панорамирование и громкость, основываясь на визуальных подсказках на графиках.
 Обертоны Причина, по которой разные инструменты звучат по-разному при воспроизведении одной и той же ноты, заключается в том, что они не воспроизводят одну синусоидальную волну. Инструмент в целом также воспроизводит несколько обертонов, и эти обертоны могут различаться у разных инструментов. Обертон - это тон, имеющий более высокую частоту, чем воспроизводимая нота. Если вы рассматриваете струну гитары, то длина струны (измеряемая тем, где вы удерживаете палец) определяет, какие частоты вы слышите, поскольку струна прикреплена с обоих концов. Математически это соответствует делению половины периода на целое число, что означает умножение угловой частоты на целое число.
 «Геометрическая теория музыки» - это определённый метод анализа музыкальных произведений, с помощью которого преобразования и структуры в музыке выражаются на язык современной геометрии.  В рамках новой теории, каждая нота представляется как логарифм, имеющий определённую частоту (к примеру, нота «до» первой октавы, соответствует числу 60, а октава – числу 12). Таким образом, аккорд представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств. 5 известных типов музыкальных преобразований, которые не учитывались ранее в теории музыки, авторы решили использовать при разработке нового метода. При классификации звуковых последовательностей присутствует  пермутация, транспозиция, инверсия, изменение кардинальности, и октавная перестановка. Многоугольник тетраэдр, являющийся геометрическим представлением четырёхзвучных аккордов, приводится в пример авторами. Из исследования лектора Майкла Маккарти о том, как сжатие музыкальных файлов связано с тригонометрией: «Хитрость заключается в использовании тригонометрии для первого сжатия, а затем для распаковки музыкальных файлов, чтобы их можно было воспроизвести снова, объяснил г-н Маккарти из отдела инженерных технологий WIT в области электронной инженерии. Связь не сразу очевидна, но на самом деле тригонометрия обеспечивает основу сжатия звука MP3.» “Если вы видите тригонометрию только в виде треугольников, это покажется странным”, - сказал мистер Маккарти. MP3-плеер использует набор инструкций, которые сообщают ему, как интерпретировать сокращение синуса и косинуса, первоначально использовавшееся для сжатия музыкального файла. Затем он может собрать исходный файл, чтобы его можно было воспроизвести как музыку. Сжатие действительно устраняет некоторые оригинальные звуки, но большинство из них представляют собой звуки, которые было бы трудно услышать. Например, нашим ушам трудно различать сигналы очень низкой частоты, если с ними играет конкурирующий более громкий звук. Система сжатия устраняет неслышимый низкочастотный звук, чтобы сделать сжатый файл намного меньше. «Этот метод работает поразительно хорошо»- сказал в заключение мистер Маккарти.
1.     Другие направления использования тригонометрии Тригонометрия в видеоиграх  Играли ли вы в игру Марио? Вы можете видеть, как он плавно скользит по дорожным блокам. На самом деле он не прыгает прямо по оси Y, это слегка изогнутая траектория или параболическая траектория, по которой он преодолевает препятствия на своем пути. Тригонометрия помогает Марио перепрыгивать через эти препятствия. Как вы знаете, игровая индустрия - это все, что связано с IT и компьютерами, и, следовательно, тригонометрия имеет немаловажное значение для IT специалистов.    
Используют ли археологи тригонометрию? Тригонометрия используется для правильного разделения участков раскопок на равные участки для работ. Археологи идентифицируют различные инструменты, используемые в древности, а тригонометрия может помочь им в этой работе. Они также могут использовать тригонометрию для измерения расстояния до систем подземного водоснабжения.
Тригонометрия в криминалистике  В криминалистике тригонометрия может помочь рассчитать траекторию снаряда, оценить, что могло вызвать столкновение в автомобильной аварии, или как откуда-то упал предмет, или под каким углом была выпущена пуля и т.д.                                                                                                                                                 II.                        Заключение
Тригонометрия – действительно, удивительное направление в математике. Она применяется и присутствует во многих сферах жизни человечества, но так мало ценится нами. Мы, можно сказать, живём в мире тригонометрии и даже не задумываемся об этом.  Несмотря на это, многие продолжают неоправданно называть тригонометрию сложной, но стоит хоть немного вникнуть в неё и дальше всё становится абсолютно понятным. Именно поэтому эта работа была так важна для меня. Исследовав эту тему, я с уверенностью могу сказать, что тригонометрия нужна нам, как при обучении в школе, так и в дальнейшей жизни. Столько разнообразных  сфер использования собрала в себе тригонометрия. Это и медицина, и искусство с архитектурой, физика и инженерное дело, астрономия. Тригонометрия просто не может быть бесполезной. Именно поэтому необходимо изучать её не только с точки зрения математики, не просто  так во введении я написала, чтобы понять тригонометрию в полной мере, необходима немного другая форма мышления. Моё исследование полостью доказывает это. Подготовленные материалы могут использоваться учащимися как для подготовки к урокам по данной теме, так и для расширения своего кругозора в этом направлении.      

Специализации:

• математика

• Новости